Analisi Matematica 2

Un'equazione differenziale lega una funzione incognita y(x) e le sue derivate.

• Forma generale (1° ordine): y' = f(x, y)
• Equazioni Lineari (1° ordine): y' + a(x)y = b(x)
• Problema di Cauchy: EDO associata a una condizione iniziale y(x₀) = y₀ per garantire l'unicità della soluzione locale (Teorema di esistenza e unicità).

Studio dello spazio euclideo e delle funzioni scalari o vettoriali f: ℝⁿ → ℝᵐ.

• Limiti in ℝⁿ: Il limite deve esistere e coincidere lungo qualsiasi curva di avvicinamento al punto (x₀, y₀). Spesso si usano le coordinate polari per la verifica.
• Derivata Direzionale e Gradiente: Il gradiente ∇f(x,y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) indica la direzione di massima pendenza della superficie descritta da z = f(x,y).
• Differenziabilità: Condizione più forte della derivabilità. Se una funzione è differenziabile, ammette un piano tangente nel punto.

Un punto stazionario P₀ annulla il gradiente: ∇f(P₀) = (0,0).

La natura del punto critico è determinata dalla matrice Hessiana Hf(P₀):

det(Hf) > 0 e f_xx > 0   =>   Minimo locale
det(Hf) > 0 e f_xx < 0   =>   Massimo locale
det(Hf) < 0              =>   Punto di sella
det(Hf) = 0              =>   Caso dubbio

Moltiplicatori di Lagrange: Metodo impiegato per la ricerca di estremi vincolati su curve definite implicitamente g(x,y) = 0, sfruttando la funzione Lagrangiana L = f - λ·g.

Una curva parametrica è definita dalla funzione γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) per t ∈ [a,b].

• Lunghezza della curva: L(γ) = ∫ ||γ'(t)|| dt
• Integrali curvilinei di 1° specie: Integrano funzioni scalari f(x,y,z) lungo una curva (utili per massa e baricentro di un filo materiale).

Applicazione dell'integrale definito a domini D ⊂ ℝ² (integrali doppi) o D ⊂ ℝ³ (integrali tripli).

Cambiamento di variabile in coordinate polari:

x = ρ cos(θ)
y = ρ sin(θ)
dx dy = ρ dρ dθ  (dove ρ è il determinante Jacobiano)